Miért nem teríthető ki a földgömb torzítás nélkül térképpé

Egy gömböt nem lehet úgy síkba teríteni, hogy a felülete valahol ne nyúljon meg, ne nyomódjon össze vagy ne szakadjon el. Carl Friedrich Gauss ezt matematikailag bizonyította, és tételéből az következik, hogy még egy darab papírt sem tudsz gyűrődés nélkül egy gömbre simítani. Ezért minden sík világtérkép torzít valamit: az alakot, a területet, a távolságot vagy az irányt. Ezért néznek ki másképp a kontinensek a térképen, mint a földgömbön.

Ismert példát a szokásos Mercator-térképen találsz. Grönland ott nagyjából akkorának tűnik, mint Afrika, pedig Afrika valójában körülbelül 14-szer nagyobb. A földgömbön nincs ilyen hiba, mert maga is gömb, így rajta a kontinenseket helyes arányban látod, a földtengely dőlésével együtt.

Miért nem teríthető síkba a gömb

Egy sík papírlapot csővé vagy tölcsérré hajlíthatsz, és semmi sem gyűrődik vagy szakad el rajta. A papír pontjai közötti távolságok ugyanazok maradnak, a papír csak meghajlik. A gömb viszont egyszerre minden irányban görbült. Ha síkba akarod teríteni, a felületét valahol meg kell nyújtanod, máshol össze kell nyomnod, vagy fel kell vágnod.

A térképészek, vagyis a térképek készítői, ezt a problémát vetülettel oldják meg. A vetület olyan matematikai szabály, amely a gömb minden pontjához hozzárendel egy pontot a síkon. Egyetlen szabály sem tud mindent egyszerre megőrizni, ezért minden vetület választ, mit őriz meg és mit áldoz fel. A földgömbkészítők az ellenkező utat járják: a térképet hosszú, keskeny papírcsíkokra nyomtatják, amelyek a sarkok felé hegyesen elkeskenyednek, és ezeket ragasztják a gömbre. Minél több csíkot használnak, annál kevésbé kell a papírt nyújtaniuk és gyűrniük.

Mit torzít a térkép: alakot, területet vagy távolságot

Egy sík térkép ezek közül egy vagy több tulajdonságot mutathat helyesen, de soha nem mindet egyszerre: az irányokat, a távolságokat, a területeket és az alakokat. Az a térkép, amely a kis területek alakját megőrzi, az úgynevezett szögtartó, nem őrizheti meg egyszerre a területeket. A helyes területű térkép viszont az alakokat torzítja.

A különbség jól látszik négyféle térképen, amellyel gyakran találkozol:

Mercator 1569-ben mutatta be térképét, és a tengerészeknek nagy segítség volt: az egyenesként megrajzolt irányt iránytűvel tarthatták. A térkép méretaránya azonban az Egyenlítőtől távolodva nő. Az északi vagy déli szélesség 70°-a felett a térkép gyakorlatilag használhatatlan, a sarkokon pedig a méretarány végtelen lenne, ezért a térkép nem mutatja őket. Grönland területe körülbelül 2,17 millió km², Afrikáé körülbelül 30 millió km², a térképen mégis hasonló méretűek.

A Gall–Peters-térkép az ellenkezőjét teszi. James Gall 1855-ben írta le, Arno Peters pedig a 20. század hetvenes éveinek elején tette ismertté. A területek rajta stimmelnek, a legtöbb kontinens alakja azonban láthatóan torz. A térképészek a torzítást azonos méretű kis körökkel is megmutatják, amelyeket a földgömb teljes felületén elhelyeznek. A térképen ezekből különböző méretű és alakú ellipszisek lesznek, és ahol a legjobban eltérnek a körtől, ott a legnagyobb a torzítás.

Mit figyelj meg a földgömbön

A földgömb az egyetlen világtérkép, amelynek nincs vetületi torzítása. Ha van egy otthon vagy az iskolában, figyeld meg ezeket a helyeket:

• A tengely dőlése. A földgömb tengelye általában nem függőleges, hanem körülbelül 23,4°-kal megdöntött. Ugyanígy dől a földtengely ahhoz a síkhoz, amelyben a Föld a Nap körül kering, és éppen ez a dőlés okozza az évszakok váltakozását.
• Szélességi körök. Az Egyenlítővel párhuzamos körök a sarkok felé kisebbek lesznek. A térítők az északi és déli szélesség 23°26′-én fekszenek, vagyis pontosan a tengely dőlésének megfelelő távolságra az Egyenlítőtől, a sarkkörök pedig 66°33′-en. A Mercator-térképen minden szélességi kör ugyanolyan hosszú, mint az Egyenlítő, ezért a sarkok közelében lévő országok szét vannak húzva.
• Hosszúsági körök. A sarktól sarkig futó vonalak a földgömbön egy pontban találkoznak. A Mercator-térképen ezek párhuzamos függőleges egyenesek, amelyek soha nem találkoznak.
• Grönland és Afrika. Fordítsd el a földgömböt úgy, hogy mindkét területet egyszerre lásd, és hasonlítsd össze a méretüket. Utána nézd meg ugyanazt a helyet egy szokásos világtérképen.

A legrégebbi fennmaradt földgömb, Martin Behaim úgynevezett Erdapfelje, 1492-ből származik. Az elv azóta nem változott: a szélességi és hosszúsági körök hálójával ellátott gömb azok nélkül a kompromisszumok nélkül mutatja a Földet, amelyeket minden sík térképnek meg kell kötnie.

Otthoni kísérlet: narancs a földgömb helyett

Amit Gauss bebizonyított, néhány perc alatt ellenőrzöd egy naranccsal és egy filctollal.

1. Rajzolj filctollal a héjra néhány egyforma méretű kört: egyet az „Egyenlítő” köré a narancs közepén, és egyet a kocsány közelébe, amely a „sark” lesz.
2. Hámozd meg a narancsot úgy, hogy a héja egy darabban maradjon.
3. Tedd a héjat belső oldalával lefelé az asztalra, és próbáld teljesen laposra nyomni.
4. Nézd meg, mi történt: a héj magától nem simul ki, és ha lenyomod, elszakad vagy megnyúlik. Azokon a helyeken, ahol a héj nyúlt, a körök alakja megváltozik.

Pontosan ezt a problémát oldja meg minden térkép. Vagy csíkokra szakítja a felületet, ahogy a földgömbkészítők teszik, vagy megnyújtja és eltorzítja, mint Mercator a sarkoknál. A héjon lévő körök ugyanúgy működnek, mint azok a körök, amelyekkel a térképészek a torzítást ábrázolják.

Mit figyelj meg a földgömb modelljén

Ha a földgömböt magad rakod össze, minden a kezedben van, amiről szó volt: a gömb, a tengely és a vonalak hálója. Hogy a modelled pontosan mit utánoz, azt az útmutatójából és a képeiből tudod meg. Összerakás közben figyeld meg ezeket a helyeket:

• A tengely és rögzítése. Nézd meg, hogy a modell tengelye meg van-e döntve, és hogyan tartja az állvány. Ha a modell mutatja a dőlést, hasonlítsd össze a függőlegessel.
• A gömb felülete. Nézd meg, miből áll össze a gömb. Ha a térkép részekre vagy csíkokra van osztva, figyeld meg, hogyan keskenyednek a sarkok felé, és hol találkoznak.
• Szélességi és hosszúsági körök. Ha a modellen vannak, figyeld meg, hogyan lesznek kisebbek a szélességi körök, és hogyan futnak össze a hosszúsági körök. Ugyanaz a kép, mint egy igazi földgömbön.

Ha egy fogaskerekes földgömb nehezen forog vagy elakad, a súrlódás keresésének menetét az Elakad a szerkezet: keresd meg a súrlódást és szüntesd meg című cikkben találod. Ha pedig egy világító modell már nem világít, a Nem világít a miniatűr ház: elemek, érintkezők, kábelek című cikk segít.

Ezeket a részeket megnézheted például a Fa 3D puzzle - Világító földgömb ROKR ST003 modellen. A bolt leírása szerint áttetsző térképe, fogaskerékhajtása, földrajzi szélesség szerinti tartója, nagyítója és meleg fényű éjszakai lámpája van Micro USB-csatlakozással. A bolt adatai szerint 14 éves kortól ajánlott.

Gyakori kérdések